如何利用几何画板验证帕斯卡定理

几何画板 2023-01-08

在射影几何中有一个重要定理，就是帕斯卡定理，它的定义是如果一个六边形内接于一条二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线），那么它的三对对边的交点在同一条直线上。

由于六边形的存在多种情况，帕斯卡定理的图形也存在多种，它们虽然看起来截然不同，但均为帕斯卡定理，证明它们的方法也是相同的。

比如：已知圆内接六边形 ABCDEF 的边 AB、DE 延长线交于点 G，边 BC、EF 延长线交于点 H，边 CD、FA 延长线交于点 K，则 H、G、K 三点共线，下面就以此题来进行证明。

用几何画板验证帕斯卡定理的步骤如下：

步骤一画圆内接六边形 ABCDEF

打开课件制作工具，选择圆工具任意画一个圆，然后使用点工具在圆上画出点A、B、C、D、E、F，接着用线段工具依次连接相连两点，这样就画出了圆的内接六边形。

图1：快速画圆内接六边形

1.延长边 AB、DE 交于点 G

选择射线工具，作射线BA、DE，两条射线相交，交点标记为点 G，如下图所示。

图2：作射线BA、DE交于点G

2.延长边 BC、EF 交于点 H

选择射线工具，作射线BC、EF，两条射线相交，交点标记为点 H，如下图所示。

图3：延长射线BC、EF交于点H

3.延长边CD、FA 交于点 K

选择射线工具，作射线CD、FA，两条射线相交，交点标记为点 K，如下图所示。

图4：延长射线CD、FA交于点K

4.连接点G、H、K，验证三个交点共线

选择直线工具，作直线HG，发现点G、H、K三点在同一条直线上，从而就验证了帕斯卡定理。

图5：作直线HG验证三点共线